אם יש מספר אחד שמתמטיקאים, מדענים ואפילו חובבי חידות מתמטיות לא מפסיקים לדבר עליו, זהו פאי מתמטי. כבר אלפי שנים אנשים מנסים להבין אותו לעומק. אז מה הערך של פאי? התשובה קצרה וארוכה כאחד: פאי הוא בערך 3.14159, אבל בעצם יש לו אינסוף ספרות אחרי הנקודה.
הספרות הללו לא חוזרות על עצמן בצורה קבועה, מה שהופך אותו למספר מיוחד במיוחד. כשחושבים על זה, מדובר במספר שמופיע כמעט בכל מקום: בהיקף של עיגול, בנפח של כדור, ואפילו בנוסחאות מתוחכמות בפיזיקה. אז מה הסיפור של פאי מתמטי? זה הזמן לגלות!
ההיסטוריה המרתקת של פאי מתמטי
המסע בעקבות פאי (π) ונפלאות המתמטיקה התחיל כבר לפני יותר מארבעת אלפים שנה. הבבלים חישבו את ההיקף של עיגול ביחס למשושה וקיבלו ערך מקורב. המצרים, עם הפפירוס המפורסם של רינד, ניסו גם הם לשער מה הערך של פאי. בהודו העתיקה השתמשו בחישובים אסטרונומיים כדי להגיע לערך קרוב יותר, וארכימדס היווני עשה מהפכה כשהציע שיטה גאונית לחישוב הקירוב המדויק ביותר.
המתמטיקאים לא עצרו שם. במאה ה־15 כבר ידעו לחשב 14 ספרות אחרי הנקודה, ובמאה ה־17 הגיעו למאה ספרות. כיום מחשבים מודרניים כבר יודעים לחשב טריליוני ספרות, אבל השאלה כמה ספרות יש בפאי נשארת מסקרנת ומרתקת.
הסמל המתמטי π הוא אות יוונית, שמקורה באות הראשונה של המילים היווניות "περιφέρεια" שפירושה היקף, ו"περίμετρος" שפירושה פרימטר. השימוש המוקדם ביותר הידוע בסמל נעשה על ידי המתמטיקאי הוולשי ויליאם אוֹטְרַייט בשנת 1647, אך רק בשנת 1748 ליאונרד אוילר הפך אותו לנפוץ יותר בספרו מבוא לניתוח האינסוף.
פאי נפוץ בתחומים רבים במתמטיקה, הנדסה ופיזיקה, ויום הפאי הבינלאומי, שחל ב-14 במרץ (3.14 באופן בו אמריקאים מציינים תאריכים), מצוין כדי לחגוג אותו.
כדי להבין זאת צריך להתבונן בהיסטוריה של המספר π, ולאחר מכן לעסוק בגילוי הספרות העשרוניות שלו. נראה כי π הוא גם מספר אי־רציונלי, גם מספר טרנסצנדנטי, ואולי גם מספר נורמלי. מבחינה מתמטית, נעשה שימוש ב־π כדי לחשב את נפח כדור, או את ההיקף והשטח של עיגול. אז למה כל כך הרבה סקרנות ומשיכה ל־π?
כמה ספרות יש בפאי?
במובן הטכני, יש אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית של פאי. עם זאת, המחשבים הכי חזקים בעולם הצליחו לחשב אותו עד 13 טריליון ספרות. זה נתון מטורף, אבל האמת היא שבחיי היום־יום אנחנו מסתפקים בכמה ספרות בודדות בלבד.
בין אם מדובר בהנדסה, פיזיקה או אפילו חישובים פשוטים של שטחים והיקפים, לרוב מספיק להשתמש בערך של פאי עד שתי ספרות אחרי הנקודה. כלומר, 3.14.
אז מה הערך של פאי "האמיתי"? מבחינה מתמטית הוא אינסופי, אבל מבחינה מעשית זה תלוי כמה דיוק דרוש לך.
אגב, יש אנשים שהופכים את זה לאתגר אישי ומנסים לשנן כמה שיותר ספרות של פאי. השיא הנוכחי שייך ליפני שציטט לא פחות מ־100,000 ספרות. אם אתם מחפשים דרך להוכיח לחברים שלכם שאתה באמת חובבים מתמטיקה, אולי זה יכול להיות רעיון.
כאמור, כיום המחשבים החזקים ביותר מסוגלים לחשב את ערכו של π עד 13 טריליון ספרות אחרי הנקודה, אך ברור שלא תמיד הייתה אפשרות כזאת. מאז העת העתיקה מלומדים ומתמטיקאים ניסו שוב ושוב למצוא ערך שיתקרב כמה שיותר לדיוק הנדרש.
איך הכל התחיל?
- 1680 לפני הספירה - הערך העתיק ביותר של π שמצאו מיוחס לבבלים. הם השוו את היקף העיגול להיקף משושה. הערך שהתקבל היה 3 ועוד שמינית, כלומר 3.125.
- 1650 לפני הספירה - פפירוס מתמטי בשם "רינד", שהתגלָה ב־1855, מלמד שגם המצרים עסקו ב־π וחיפשו קירוב מדויק. הסופר אחמס הבחין כי ריבוע שצלעו באורך 8 יחידות יכול להתעגל כמעט לעיגול שקוטרו 9 יחידות. מתמטית, הדבר מבטא ערך של כ־3.16.
- 700 לפני הספירה - הטקסט ההודי "שאטאפתה ברהמנה" נותן קירוב ל־π כשבר 25/8 כלומר 3.125. מתמטיקאים הודים מתקופת הוודות חישבו מחדש את הערך באמצעות חישובים אסטרונומיים והגיעו לכ־3.1416.
- ארכימדס (287–212 לפני הספירה) - נחשב לרוב כראשון שחישב קירוב מדויק ל־π בחיבורו מדידת העיגול. בשיטה מתוחכמת של שימוש במצולעים הולכים וגדלים במספר צלעותיהם, הוא הגיע לערך 220/71 באמצעות מצולע בן 96 צלעות. השיטה של ארכימדס שימשה מתמטיקאים במשך 2000 שנה לאחר מותו.
המפנה האמיתי הגיע עם גילוי האנליזה והחשבון הדיפרנציאלי. מתמטיקאים כמו ווליס, לייבניץ, סטרלינג וניוטון הבינו כי אפשר לבטא את π גם בצורת טורים אינסופיים. בשנת 1699 הצליח אברהם שארפ לחשב 71 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1706 ג'ון מאצ'ין עבר את רף מאה הספרות בעזרת פונקציית הארקטנגנס.
מאז הפך חישוב ספרות של π לאתגר מתמטי, מעין סמל יוקרה. כיום מחשבים משוכללים מחשבים אלפי מיליארדי ספרות אחרי הנקודה, והאדם כבר לא עושה זאת בעצמו. במקום זאת אנשים מנסים לשנן כמה שיותר ספרות. כך למשל, דניאל טַמֶט שינן בשנת 2004 לא פחות מ־22,514 ספרות תוך קצת יותר מחמש שעות. השיא הנוכחי שייך ליפני שציטט 100,000 ספרות של פאי.
פאי מתמטי כפרדוקס מהלך
היופי במספר פאי הוא שהוא מכיל בתוכו תעלומה אינסופית. מצד אחד הוא מופיע בנוסחאות פשוטות, למשל חישוב היקף של עיגול. מצד שני, אי אפשר לכתוב אותו כשבר פשוט. זה הופך אותו למספר אי־רציונלי, וגם לטרנסצנדנטי, כלומר לא ניתן לפתרון בעזרת משוואה פולינומית רגילה.
כאן נכנס הקסם האמיתי של נפלאות המתמטיקה: מספר אחד קטן, אבל מאחוריו מסתתר עולם שלם של רעיונות ופרדוקסים במתמטיקה. לא פלא שפאי מסעיר מתמטיקאים ואוהבי מספרים כבר אלפי שנים.
פאי מתמטי לא נשאר רק בכיתת המתמטיקה. הוא מופיע בשירה, באמנות, במבנים אדריכליים ואפילו בטבע. למשל, יש קשר מעניין בין פרמידת ח'ופו במצרים לבין פאי. היחס בין היקף הבסיס לגובה הכפול מתקרב מאוד לערך של פאי. האם זה היה מכוון או סתם צירוף מקרים?
גם בספרות נוצר חיבור יפהפה: יש שירים שבהם כל מילה מייצגת ספרה בסדרה של פאי, מה שמאפשר לשנן אותו בצורה יצירתית. זה חיבור מושלם בין מתמטיקה לדמיון.
התכונות של π
- מספר אי־רציונלי: אי אפשר להביע את π כשבר פשוט של שני מספרים שלמים. ספרותיו אינן מחזוריות ואינן סופיות, ולכן אינן צפויות.
- מספר טרנסצנדנטי: כלומר אינו פתרון של שום משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים. יחד עם זאת, קיימות נוסחאות שמקשרות בין π לבין קבועים מתמטיים אחרים כמו יחס הזהב.
עד היום לא ידוע אם π הוא מספר נורמלי, כלומר כזה שבו כל רצף ספרות מופיע בתדירות שווה. במשך כמעט ארבעת אלפים שנה, המספר הזה עדיין לא גילה את כל סודותיו.
הנוכחות של פאי חורגת בהרבה מתחום הגיאומטריה. הוא מופיע גם בסטטיסטיקה, בהסתברות ובבעיות קלאסיות כמו בעיית המחט של בופון. הוא נמצא גם בטבע וביקום: בצורת השמש, בעין אנושית, במבנה ה־DNA ואפילו במשוואת אי־הוודאות המפורסמת של הייזנברג.
יש אפילו מי שמוצאים קשר בין פרימידת ח'ופו (חיאופס) לבין פאי: היחס בין היקף הבסיס לגובה הכפול מתקרב מאוד לערך של פאי. האם זה מכוון או צירוף מקרים? מי שחושב שאין קשר בין מתמטיקה לספרות ישמח לדעת שקיימות יצירות פיוטיות שבהן מספר האותיות בכל מילה מתאים לספרה של פאי, מה שמאפשר לשנן את הספרות הראשונות בקלות.
פאי מתמטי והחיים עצמם
מעבר לנוסחאות ולחישובים, פאי מתמטי מזכיר לנו שהמתמטיקה לא חייבת להיות נוקשה ומשעממת. היא יכולה להיות יצירתית, מלאת השראה ואפילו מהנה. בדיוק כמו שלומדים איך לספור קלפים לא בשביל להמר, אלא כדי להבין עקרונות מתמטיים של הסתברות, כך גם פאי הוא שער לעולם קסום של חשיבה והבנה.
אז למה פאי ממשיך לרתק אותנו?
- הוא חלק מההיסטוריה האנושית כבר אלפי שנים.
- הוא עדיין לא גילה את כל סודותיו, וממשיך לעורר שאלות.
- הוא מופיע לא רק במתמטיקה טהורה, אלא גם בטבע, באמנות ובחיי היומיום.
- הוא מזכיר לנו שהמתמטיקה היא לא רק מספרים, אלא גם סקרנות ודמיון.
אז בפעם הבאה שתשאלו את עצמכם מה הערך של פאי, זכרו שמדובר לא רק במספר אינסופי אלא גם במקור השראה אינסופי. ואם מישהו ינסה לשאול אתכם כמה ספרות יש בפאי, תמיד תוכלו לענות בחיוך: "כמה שתרצו, ועוד קצת".
אהבתם את המאמר? השאירו דירוג.
Loading...
